Halaman
124Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTransformasiKompetensi Dasar Pengalaman BelajarSetelah mengikuti pembelajaran transformasi, siswa mampu:3.5 Menganalisis dan membandingkan trans-formasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks. 4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi).Melalui pembelajaran materi transformasi, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Mampu berpikir kreatif. • Mampu berpikir kritis dalam mengamati permasalahan.• Mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep.• Mengajak kerjasama tim dalam menemukan solusi permasalahan.• Mengajak siswa untuk menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari.• Siswa mampu memodelkan permasalahan.• Translasi• Refleksi• Rotasi• Dilatasi• Komposisi TransformasiIstilah Penting A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarBAB4
125MATEMATIKA B. Diagram AlirMateri PrasyaratTransformasiFungsiTrigonometriMatriksRefleksiTranslasiDilatasiRotasiKomposisi TransformasiPenyelesaianMasalahAutentik
126Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPada bab ini, kita akan membahas konsep transformasi seperti translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian) serta komposisinya dengan pendekatan koordinat. Untuk mempelajari materi ini, kamu diharapkan sudah memahami konsep matriks dan mengingat kembali materi transformasi yang telah kamu pelajari di SMP.4.1 Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran)Coba kamu amati benda-benda yang bergerak di sekitar kamu. Benda-benda tersebut hanya berubah posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Sebagai contoh, kendaraan yang bergerak di jalan raya, pesawat terbang yang melintas di udara, bahkan diri kita sendiri yang bergerak kemana saja. Nah, sekarang kita akan membahas pergerakan objek tersebut dengan pendekatan koordinat. Kita asumsikan bahwa pergerakan ke arah sumbu x positif adalah ke kanan, pergerakan ke arah sumbu x negatif adalah ke kiri, pergerakan ke arah sumbu y positif adalah ke atas, dan pergerakan ke arah sumbu y negatif adalah ke bawah.Masalah 4.1Titik A(4,–3) bergerak ke kiri 6 langkah dan ke bawah 1 langkah, kemudian dilanjutkan kembali bergerak ke kiri 3 langkah dan ke atas 3 langkah. Coba kamu sketsa pergerakan titik tersebut pada bidang koordinat kartesius. Dapatkah kamu temukan proses pergerakan titik tersebut? C. Materi Pembelajaran
127MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Bila Masalah 4.1 disajikan dalam koordinat kartesius maka diperoleh gambar berikut. Perhatikan gambar!Gambar 4.1: Pergeseran Titik A(4, –3)Keterangan gambar:Pergeseran 1. Posisi awal titik adalah A(4,–3), kemudian bergerak ke kiri 6 langkah dan ke bawah 1 langkah, sehingga posisi berubah di koordinat C(–2,–4). Hal ini berarti:4 62314--+=---Pergeseran 2. Posisi sementara titik adalah C(‒2,‒4) dan mengalami pergeseran selanjutnya yaitu bergeser ke kiri 3 langkah dan ke atas 3 langkah, sehingga pada gambar tampak di posisi koordinat E(‒5,‒1). Hal ini berarti:--=-+--153342Jadi, posisi akhir titik A(4,‒3) berada di titik E(‒5,‒1).
128Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah 4.2Bagaimana, jika sebuah bidang digeser pada bidang koordinat kartesius? Coba kamu amati bidang Segitiga ABC yang digeser pada gambar berikut! Dapatkah kamu tentukan arah dan besar pergeserannya?-11-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-1-2-3-4-5-6123456DigeserDigeserDigeserObjekHasilTranslasiBACB’A’C’Gambar 4.2: Translasi segitiga ABC pada koordinat kartesiusAlternatif Penyelesaian:Tampak pada gambar arah pergeseran titik A, B, dan C ke posisi titik A′, B′ dan C′. Secara analitik, semua titik-titik pada bidang segitiga tersebut akan ikut bergeser, bukan? Mari kita tentukan arah dan besar pergeseran bidang tersebut.Posisi awal titik adalah A(‒9, ‒4), B(‒8, ‒2) dan C(‒3, ‒5), kemudian masing-masing bergeser ke kanan 11 langkah dan ke atas 6 langkah, sehingga posisi berubah dikoordinat A′(2, 2), B′(3, 4) dan C′(8, 1) sesuai gambar. Hal ini dapat dituliskan sebagai:911246 2- += - , 811326 4- += - , 311856 1- += - Berdasarkan pengamatan pada pergeseran objek-objek di sekitar kita dan pergeseran objek-objek di bidang koordinat kartesius (Masalah 4.1 dan Masalah 4.2), dapat disimpulkan sifat translasi berikut:
129MATEMATIKASifat 4.1Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Selanjutnya, kita akan menemukan konsep translasi dan kaitannya dengan konsep matriks. Kita amati kembali pergeseran titik-titik pada Masalah 4.1 dan Masalah 4.2 serta pada gambar berikut:Gambar 4.3: Translasi titik A pada koordinat kartesiusAmati pergeseran setiap titik pada Gambar 4.3!Perhatikan arah pergeseran titik-titik tersebut! Kita tentukan koordinat masing-masing titik dan menuliskannya pada tabel di bawah ini. Coba kamu lengkapi Tabel 4.1!Tabel 4.1: Translasi titikTitik awalTitik akhirProsesTranslasiA(–10, –4)B(–6, –2)641022 4-- = + -- 14T2B(–6, –2)C(9, –5)91565 32--=+---215T3-
130Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKC(... , ...)D(... , ...)......D(... , ...)E(... , ...)......E(... , ...)F(... , ...)......Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum diperoleh konsep:Titik A(x, y) ditranslasi oleh T(a, b) menghasilkan bayangan A'(x', y'), ditulis dengan,( , )'( ', ')aTbAx yA x y →''x axy by = + Mari kita gunakan konsep translasi tersebut untuk menentukan hasil translasi titik dan fungsi y = f(x) pada beberapa contoh berikut.Contoh 4.1Titik A(2, 3) ditranslasikan dengan matriks translasi T(–3, 4), tentukan bayangan A!Alternatif Penyelesaian:34(2, 3)'( ', ')TAAx y- →' 32 1' 437xy-- = += Bayangan A adalah A'(–1, 7)
131MATEMATIKAContoh 4.2Garis k dengan persamaan 2x – 3y + 4 = 0 ditranslasi dengan matriks translasi T(–1, –3). Tentukanlah bayangan garis k tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x, y) memenuhi persamaan k sedemikian sehingga:13( , )'( ', ')TAx yA x y-- →'11'33xxxyyy-- = += -- '1'1x xxx= -⇔ = +'3'3y yyy=-⇔ = +Dengan mensubstitusi x dan y ke garis k maka ditemukan persamaan garis ksetelah ditranslasi, yaitu2(x+1)–3(y+3)+4 = 0 atau 2x – 3y – 3 = 0 Latihan 4.1Titik P(a, b + 2) digeser dengan T(3, 2b–a) sehingga hasil pergeseran menjadi Q(3a + b, –3). Tentukan posisi pergeseran titik R(2, 4) oleh translasi T di atas.Alternatif penyelesaian:Coba ikuti panduan berikut:Langkah 1:(3,2)( ,2)(3, 3)TbaPabQ a b-+ →+ -3......3......ab+ = + - 3a + b = ... atau a = ... (persamaan 1)–3 = ... (persamaan 2)
132Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLangkah 2:Dengan mensubstitusi a = ... ke persamaan (2) maka diperoleh nilai b = . . .Dengan demikian, translasi yang dimaksud adalah T(3,2b–a) = T(..., ...).Langkah 3:Pergeseran titik R(2,4) oleh translasi T adalah:(...,...)(2, 4)'( , )TRR xy →'...2...'...4...xy =+= Jadi, koordinat pergeseran titik R adalah R'(..., ...).4.2 Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan)Setelah kamu menemukan konsep translasi, kamu akan belajar menemukan konsep refleksi atau pencerminan. Kita mulai dengan mengamati pencerminan objek-objek dalam kehidupan sehari-hari. Coba kamu amati dirimu pada saat bercermin (pada cermin datar). Tentu saja, kamu pernah melihat bayangan dirimu di cermin, seperti contoh bayangan dirimu di permukaan air, bayangan dirimu di kaca, dan lain-lain. Kalau kamu amati, jarak dirimu ke cermin akan sama dengan jarak bayanganmu ke cermin. Sekarang, kita juga akan mencoba mempelajari konsep pencerminan dengan pendekatan koordinat. Kita akan mengamati pencerminan objek pada bidang koordinat, dengan itu diasumsikan bahwa titik O(0,0) dan garis (sumbu x, sumbu y, y = x, y = –x) adalah sebagai cermin. Masalah 4.3Perhatikan gambar berikut! Coba kamu amati objek yang dicerminkan terhadap sumbu y pada bidang koordinat kartesius. Kamu terfokus pada jarak objek ke cermin dan jarak bayangan ke cermin serta bentuk/ukuran objek dan bayangan.
133MATEMATIKAGambar 4.4: Refleksi objek terhadap sumbu yApakah hasil pengamatanmu? Tentu saja, bentuk dan ukuran objek dan bayangannya tidak berubah, jarak objek ke cermin sama dengan jarak bayangannya ke cermin. Berdasarkan pengamatan pada Masalah 4.3 maka secara induktif diperoleh sifat pencerminan sebagai berikut.Sifat 4.2Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
134Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan konsep-konsep pencerminan dengan pendekatan koordinat berikut ini.4.2.1 Pencerminan Terhadap Titik O(0,0)Kita akan menemukan konsep pencerminan terhadap titik O(0,0) dengan melakukan eksperimen. Kamu amati pencerminan titik-titik pada gambar berikut.Gambar 4.5: Refleksi titik terhadap titik O(0,0)Perhatikan koordinat titik dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap titik O(0,0) pada gambar berikut tersebut! Tuliskan koordinat titik-titik tersebut dan bayangannya pada tabel di bawah ini!Tabel 4.2: Koordinat pencerminan titik terhadap titik O(0,0)TitikKoordinat BayanganA(6,3)A'(–6,–3)B(... , ...)B'(... , ...)C(... , ...)D'(... , ...)D(... , ...)E'(... , ...)E(... , ...)F'(... , ...)
135MATEMATIKABerdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap titik O(0,0) akan mempunyai koordinat bayangan A'(–x,–y), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap titik O(0,0). Misalkan matriks transformasinya adalah abCcd= sehingga,( 0 ,0 )( , )'(,)OCAx yA x y → - -xa bxax byyc dycx dy-+ == -+ Dengan kesamaan matriks,1 dan 0x ax byab-= + ⇔ =-=0 dan 1y cx dycd-= + ⇔==-Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap titik O(0,0) adalah 1001--. Titik A(x, y) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) menghasilkan bayangan A'(x', y'), ditulis dengan,( 0 ,0 )( , )'( ', ')OCAx yA x y →'10' 01xxyy- = - Titik A(1, 4) dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0), tentukan bayangan A!Alternatif Penyelesaian:( 0 ,0 )(1, 4)'( ', ')OCAAx y →'10 11'0 144xy-- == -- Bayangan A adalah A'(–1, –4)Contoh 4.3
136Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 4.4Sebuah garis dengan persamaan –2x + 4y – 1 = 0 dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0). Tentukan persamaan bayangan garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x, y) memenuhi persamaan –2x + 4y – 1 = 0 sedemikian sehingga:( 0 ,0 )( , )'( ', ')OCAx yA x y →'10' 01xxxyyy-- == -- ''x xxx=-⇔ =-''y yyy=-⇔ =-Jika x dan y disubstitusi ke garis maka ditemukan bayangannya yaitu:–2(–x) + 4(–y) –1 = 0 atau 2x – 4y – 1 = 0Latihan 4.2Titik A(2, –3) ditranslasikan dengan T(–4, –5) kemudian dicerminkan terhadap titik O. Tentukan bayangan titik A tersebut.Alternatif Penyelesaian:( 4, 5)(0,0)(2, 3)'( ', ')''( '', '')OTCAAx yA x y--- → →Langkah 1 (Proses translasi)'.........'.........xy =+= Langkah 2 (Proses Refleksi)''10'10......''01'01 ......xxyy-- === -- Jadi, bayangan titik A adalah A"(..., ...)
137MATEMATIKA4.2.2 Pencerminan Terhadap Sumbu xKita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu xdengan melakukan pengamatan pada pencerminan titik-titik. Secara induktif, kita akan menemukan pola. Perhatikan gambar berikut!F(–7, –5)Gambar 4.6: Refleksi titik terhadap sumbu xCoba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap sumbu x pada koordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan titik tersebut beserta bayangannya pada tabel di bawah ini!Tabel 4.3: Koordinat pencerminan titik terhadap sumbu xTitikKoordinat BayanganA(1, 1)A'(1, –1)B(... , ...)B'(... , ...)C(... , ...)C'(... , ...)D(... , ...)D'(... , ...)E(... , ...)E'(... , ...)F(... , ...)F'(... , ...)
138Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBerdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum, jika titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x akan mempunyai koordinat bayangan A'(x, –y), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap sumbu x. Misalkan matriks transformasinya adalah abCcd= sehingga,(, )'(, )Sumbu xAx yA x y →-xa bxax byyc dycx dy+ == -+ Dengan kesamaan matriks:1 dan 0x ax byab= + ⇔==0 dan 1y cx dycd-= + ⇔==-Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah 1001-Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan A'(x', y'), ditulis dengan,( , )'( ', ')sumbu xCAx yA x y →' 10' 01xxyy = - Perhatikan penerapan konsep pencerminan terhadap sumbu x pada contoh berikut!Contoh 4.5Jika titik A(–3, 3) dicerminkan terhadap sumbu x maka tentukan bayangan titik tersebut!
139MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:( , )'( ', ')sumbu xCAx yA x y →( , )'( ', ')sumbu xCAx yA x y →( 3, 3)'( ', ')sumbu xCAAx y- →' 10 33' 0 133xy-- == -- Jadi, bayangan titik A adalah A'(–3, –3)Contoh 4.6Jika garis 3x – 2y – 5 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x maka tentukan bayangan garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x, y) memenuhi persamaan 3x – 2y – 5 = 0 sehingga, ( , )'( ', ')sumbu xCAx yA x y →' 10' 01xxxyyy == -- x' = xx = x'y' = –yy = – y' Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya, 3(x) –2(–y) –5 = 0 atau 3x + 2y – 5 = 0Latihan 4.3Titik A(–2, –5) dicerminkan terhadap titik O kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x. Tentukan bayangan titik A tersebut.Alternatif Penyelesaian:( 0 ,0 )( 2, 5)'( ', ')''( '', '')sumbu xOCCAAx yA x y- - →→
140Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKLangkah 1 (Proses Refleksi terhadap titik O)'... ...2...'... ...5...xy- == - Langkah 2 (Proses Refleksi terhadap sumbu x)''... ...'... ... ......''... ...'... ... ......xxyy === Jadi, bayangan titik A adalah A"(..., ...)4.2.3 Pencerminan Terhadap Sumbu yKembali kita akan mengamati pola koordinat titik-titik dan bayangannya oleh pencerminan terhadap sumbu y. Dengan demikian, kita akan menemukan konsep pencerminan terhadap sumbu y. Perhatikan gambar berikut!Gambar 4.7: Refleksi titik terhadap sumbu yCoba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap sumbu y pada koordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan titik tersebut beserta bayangannya pada tabel di bawah ini!
141MATEMATIKATabel 4.4: Koordinat pencerminan titik terhadap sumbu yTitikKoordinat BayanganA(–10, –5)A'(10, –5)B(... , ...)B'(... , ...)C(... , ...)C'(... , ...)D(... , ...)D'(... , ...)E(... , ...)E'(... , ...)F(... , ...)F'(... , ...)Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y akan mempunyai koordinat bayangan A'(–x, y). Misalkan matriks transformasinya adalah abCcd= sehingga,(,)'( ,)sumbu yCAxyA xy → -xa bxax byyc dycx dy-+ == + Dengan kesamaan matriks,–x = ax + by⇔a = . . . . dan b = . . . .y = cx + dy⇔ c = . . . . dan d = . . . .Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu y adalah ... ...... ...Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan A'(x', y'), ditulis dengan,( , )'( ', ')sumbu yCAx yA x y →'10'01xxyy- =
142Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 4.7Jika titik A(–3, –4) dicerminkan terhadap sumbu y maka tentukanlah bayangan titik tersebut!Alternatif Penyelesaian:( 3, 4)'( ', ')sumbu yCAAx y- - →'10 33'01 44xy-- == -- Jadi, bayangan titik A adalah A'(3,–4)Contoh 4.8Jika garis 3x – 2y – 5 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y maka tentukan bayangan garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x,y) memenuhi persamaan 3x – 2y – 5 = 0 sehingga, ( , )'( ', ')sumbu yCAx yA x y →'10'01xxxyyy-- == ''x xxx=-⇔ =-''y y yy=⇔=Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya, 3(–x)– 2(y) –5 = 0 atau 3x + 2y + 5 = 0 Latihan 4.4Garis 2x – y + 5 = 0 dicerminkan terhadap titik O(0,0) kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut.
143MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x, y) terletak pada garis tersebut, sehingga: y( 0 ,0 )( , )'( ', ')''( '', '')sumbuOCCAx yA x yA x y→→Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0, 0))'... ......'... ......xxyy == Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)''... ...'... ... ......''... ...'... ... ......xxyy === sehingga:'' ...x= dan '' ...y=Langkah 4 (Proses menentukan persamaan bayangan)Tentukan x dan y dalam bentuk x dan yx= ... dan y= ... Langkah 5 (Proses menentukan persamaan bayangan)Substitusi x dan y ke 2x – y + 5 = 0 sehingga diperoleh persamaan bayangan.2( ... ) – ( ... ) + 5 = 04.2.4 Pencerminan Terhadap Garis y = xKita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap garis y = xdengan melakukan pengamatan pada pencerminan titik-titik. Secara induktif, kita akan menemukan pola. Perhatikan gambar berikut!
144Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 4.8: Refleksi titik terhadap garis y = xCoba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap garis y = x pada koordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan koordinat titik tersebut beserta bayangannya pada tabel di bawah ini!Tabel 4.5: Koordinat pencerminan titik terhadap garis y = xTitikKoordinat BayanganA(–1, –5)A'(–5, –1)B(... , ...)B'(... , ...)C(... , ...)C'(... , ...)D(... , ...)D'(... , ...)E(... , ...)E'(... , ...)Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x akan mempunyai koordinat bayangan A'(y, x), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis y = x. Misalkan matriks transformasinya adalah abCcd=sehingga,( , )'( , )yxCAx yA yx= →ya bxax byxc dycx dy+ == +
145MATEMATIKADengan kesamaan matriks,y = ax + by ⇔ a = 0 dan b = 1x = cx + dy⇔c = 1 dan d = 0Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah 0110Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan bayangan A'(x', y'), ditulis dengan,( , )'( ', ')yxCAx yA x y= →'01'10xxyy = Dimana matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah 0110.Contoh 4.9Jika titik A(–1, 2) dicerminkan terhadap garis y = x maka tentukanlah bayangan titik tersebut!Alternatif Penyelesaian:( 1, 2)'( ', ')yxCAAx y=- →'01 12'10 21xy- == - Jadi, bayangan titik A adalah A'(2, –1)Contoh 4.10Jika garis 4x – 3y + 1 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x maka tentukan bayangan garis tersebut!
146Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x, y) memenuhi persamaan 4x – 3y + 1 = 0 sehingga, ( , )'( ', ')yxCAx yA x y= →'01'10xxyyyx == x' = y⇔y = x'y' = x⇔x = y'Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya,4(y) –3(x) + 1 = 0 atau –3(x) + 4y + 1 = 0Latihan 4.5Titik A(–1, –3) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y dan dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik A tersebut.Alternatif Penyelesaian:( 0 ,0 )( 1, 3)'( ', ')''( '', '')'''( ''', ''')Osumbu yy xCC CAAx yA x yA x y=- - →→→Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0,0))'... ...1...'... ...3...xy- == - Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)''... ...'... ... ......''... ...'... ... ......xxyy === Langkah 3 (Proses pencerminan terhadap garis y = x)'''... ...''... ... ......'''... ...''... ... ......xxyy === Jadi, bayangan titik A adalah A'''(..., ...)
147MATEMATIKA4.2.5 Pencerminan Terhadap Garis y = –xKita akan mencoba menemukan konsep pencerminan terhadap garis y = –x dengan melakukan pengamatan pada pencerminan titik-titik. Secara induktif, kita akan menemukan pola. Perhatikan gambar berikut!Gambar 4.9: Pencerminan titik terhadap garis y = –x Coba kamu amati pencerminan beberapa titik terhadap garis y = –x pada koordinat kartesius di atas, kemudian kamu tuliskan koordinat titik tersebut beserta bayangannya pada tabel di bawah ini!Tabel 4.6: Koordinat pencerminan titik terhadap garis y = –xTitikBayangannyaA(1, –4)A'(4, –1)B(... , ...)B'(... , ...)C(... , ...)C'(... , ...)D(... , ...)D'(... , ...)E(... , ...)E'(... , ...) Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = –x akan mempunyai koordinat bayangan A'(–y, –x), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis y = –x. Misalkan matriks transformasinya adalah abCcd= sehingga,
148Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK( , )'(,)yxCAx yA y x=- → - -......y ab xx cd y- == - Dengan kesamaan matriks,–y = . . . ⇔a = . . . dan b = . . .–x = . . . ⇔c = . . . dan d = . . .Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y = –x adalah ... ...... .... Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = –x menghasilkan bayangan A'(x', y'), ditulis dengan,( , )'( ', ')yxCAx yA x y=- →' 01'10xxyy- = - Contoh 4.11Jika titik A(1, 2) dicerminkan terhadap garis y = –x maka tentukanlah bayangan titik tersebut!Alternatif Penyelesaian:(1, 2)'( ', ')yxCAAx y=- →'0 112'10 21xy-- == -- Jadi, bayangan titik A adalah A'(–2,–1)Contoh 4.12Jika garis 4x – 3y + 1 = 0 dicerminkan terhadap garis y = –x maka tentukan bayangan garis tersebut!
149MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x,y) memenuhi persamaan 4x – 3y + 1 = 0 sehingga:( , )'( ', ')yxCAx yA x y=- →' 01'10xxyyyx-- == -- ''x yyx=-⇔ =-''y xx y=-⇔ =-Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya, 4(–y) – 3(–x) + 1 = 0 atau 3x – 4y + 1 = 0.Uji Kompetensi 4.11. Perhatikan gambar! Berdasarkan gambar, tentukan translasi T yang menggeser masing-masing objek tersebut!
150Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2. Tunjukkan dengan gambar pada bidang koordinat kartesius, pergeseran objek berikut oleh translasi T:a. Titik A(–3, –4) ditranslasi oleh T(5, 7)b. Ruas garis AB dengan A(–1, 1) dan B(2, –3) ditranslasi oleh T(–2, 4)c. Segitiga ABC dengan A(–3, –1), B(–1, 2), dan C(0, –4) ditranslasi oleh T(5, 5)d. Garis 2y – 3x + 6 = 0 ditranslasi oleh T(4, –1)e. Lingkaran dengan pusat di P(1, –1) dan radius 2 satuan ditranslasi oleh T(5, –5)3. Tentukan koordinat hasil pergeseran titik oleh translasi T berikut:a. Titik A(–2, 5) oleh translasi T1(–1, –3) dilanjutkan dengan translasi T2(0, 5)b. Titik B(1, –3) oleh translasi T1(–2, –4) dilanjutkan dengan translasi T2(–2, –4)c. Titik C(–3, 2) oleh translasi T1(–1, 5) dilanjutkan dengan translasi T2(–1,4)d. Titik D(4, 5) oleh translasi T1(–1, –2) dilanjutkan dengan translasi T2(–1, –3)e. Titik D(1, 3) oleh translasi T1(1, 3) dilanjutkan dengan translasi T2(1, 3)4. Tentukan koordinat titik asal oleh translasi T berikut.a. Titik A(x, y) ditranslasi oleh T(–1, –6) menjadi A'(7, –4)b. Titik B(x, y) ditranslasi oleh T(1, 5) menjadi B'(–10, –2)c. Titik C(x, y) ditranslasi oleh T(–4, 6) menjadi C'(10, –3)d. Titik D(x, y) ditranslasi oleh T(–5, –9) menjadi D'(5, 9)e. Titik E(x, y) ditranslasi oleh T(–1, –6) menjadi E'(1, 6)5. Dengan menggunakan konsep, tentukan hasil pergeseran fungsi-fungsi berikut oleh translasi T.a. Garis y = 2 ditranslasi oleh T(1, –1)b. Garis 2y – 3x + 6 = 0 ditranslasi oleh T(4, –1)c. Parabola y = x2 – 3x + 2 ditranslasi oleh T(2, 1)d. Parabola x = y2 – 2x – 2 ditranslasi oleh T(–2, 2)e. Lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 3 = 0 ditranslasi oleh T(–3, –2)
151MATEMATIKA6. Tunjukkan dengan gambar pencerminaan objek pada bidang koordinat kartesius berikut:a. Titik A(3, ‒4) dicerminkan terhadap titik O(0, 0)b. Titik B(‒1, ‒2) dicerminkan terhadap titik sumbu xc. Titik C(‒5, 2) dicerminkan terhadap titik sumbu yd. Titik D(1, ‒5) dicerminkan terhadap titik sumbu y = xe. Titik E(2, 4) dicerminkan terhadap titik sumbu y = ‒xf. Ruas garis AB dengan A(‒2, ‒1) dan B(2, 5) dicerminkan terhadap titik O(0, 0)g. Segitiga ABC dengan A(‒3, ‒1), B(‒1, 2) dan C(0, ‒4) dicerminkan terhadap sumbu xh. Garis 2y – 3x + 6 = 0 dicerminkan terhadap sumbu yi. Parabola y = x2 + 6 dicerminkan terhadap garis y = xj. Garis y = 2x + 3 dicerminkan terhadap y = ‒x7. Dengan menggunakan konsep refleksi, tentukan hasil pencerminan fungsi-fungsi berikut!a. Garis y = 2 dicerminkan terhadap titik O(0, 0)b. Garis 2y – 3x + 6 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x.c. Parabola y = x2 – 3x + 2 dicerminkan terhadap sumbu y.d. Parabola x = y2 – 2y – 2 dicerminkan terhadap garis y = x.e. Lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap garis y = ‒x.4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)Coba kamu amati lingkungan sekitarmu! Objek apa yang bergerak berputar? Banyak contoh objek yang bergerak berputar, seperti: jarum jam bergerak berputar menunjukkan angka, kincir angin, kipas angin, dan lain-lain. Pada kesempatan ini, kita akan membahas gerak berputar (rotasi) suatu objek dengan sudut putaran dan pusat putaran pada bidang koordinat. Perhatikan Gambar!
152Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah 4.4Coba kamu perhatikan gambar berikut! Gambar 4.10: Rotasi objek dengan pusat rotasi berbeda Berikan komentarmu tentang perputaran setiap objek tersebut! Pada gambar terdapat tiga objek (segitiga) yang diputar dengan sudut putaran tertentu. Hasil putaran akan bergantung pada pusat putaran dan besar sudut putaran, bukan. Gambar A adalah putaran objek dengan sudut putaran berada pada objek itu sendiri. Gambar B adalah putaran objek dengan pusat berada di ujung/pinggir objek itu sendiri dan Gambar C menunjukkan putaran objek dengan pusat putaran berada di luar objek itu. Namun, bentuk dan ukuran objek tidak berubah setelah mengalami rotasi.
153MATEMATIKAPerhatikan gambar berikut!Gambar 4.11: Rotasi objek pada pusat O(0,0)Dengan demikian, secara induktif diperoleh sifat rotasi sebagai berikut:Sifat 4.3Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Berikutnya, kita akan melakukan percobaan kembali untuk mendapatkan konsep rotasi. Perhatikan pergerakan titik pada gambar berikut:Gambar 4.12: Rotasi Titik dengan sudut β dan Pusat O(0,0)
154Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKKamu masih ingat konsep trigonometri, bukan? Pada segitiga OCA, koordinat objek adalah A(r cos a, r sin a). Diputar sebesar sudut β dan Pusat O(0, 0) sehingga posisi objek menjadi di koordinat A'(r cos(a + β), r sin(a + β)). Dengan demikian, kita akan mencoba mencari konsep rotasi. Misalkan matriks rotasi adalah abcdsehingga:( , )'( ', ')RotasiAx yA x y →( cos , sin )'( cos(), sin())RotasiArrA rra aaβ aβ →++cos()coscossinsin()sincossinra brarbrrc drcrdraβaaaaβaaa++ == ++ cos cossin sincossinsin coscos sincossinabcdaβ aβa aaβ aβa a-+=++Ini berarticos ,sinabββ== -dan sin ,coscdββ==Dengan demikian, matriks rotasi sebesar sudut β dan pusat rotasi O(0, 0) adalahcossinsincosaaaa-.Bagaimana jika pusat rotasi di titik P(p, q)? Kamu boleh menggeser (translasi) terlebih dahulu pusat rotasi ke titik O(0, 0) kemudian terjadi proses rotasi kemudian ditranslasi kembali sejauh pusat rotasi sebelumnya.Titik A(x, y) diputar dengan pusat P(p, q) dan sudut a menghasilkan bayangan A'(x', y'), ditulis dengan,[ ( , ), ]( , )'( ', ')P pqRAx yA x ya→'cossin'sincosxxp pyyq qaaaa-- =+ -
155MATEMATIKAMatriks rotasi dengan sudut a (berlawanan arah jarum jam) adalah cossinsincosaaaa-. Ingat, sudut a dihitung berlawanan arah jarum jam, sebaliknya adalah –a(searah jarum jam). Contoh 4.13Jika titik A(–2, 3) dirotasi dengan pusat O(0, 0) dan sudut 900 berlawanan arah jarum jam maka tentukanlah bayangan titik tersebut!Alternatif Penyelesaian:[ ( 0 ,0 ),90 ]( 2, 3)'( ', ')ORAAx y°- →'cos 90sin 902'sin 90cos 903xy°- ° - = °° ' 01 23' 10 32xy-- - == - Jadi, bayangan titik A adalah A'(–3,–2)Contoh 4.14Jika garis x –2y + 3 = 0 dirotasi dengan pusat P(1, –1) dan sudut 1800 searah jarum jam maka tentukanlah bayangan garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x, y) memenuhi persamaan x – 2y + 3 = 0 sehingga, [ (1, 1), 180 ]( , )'( ', ')PRAx yA x y-- °→'cos( 180 )sin( 180 )11'sin( 180 )cos( 180 )( 1)1xxyy-°--° - =+ -° -° -- - '1011'01( 1)1xxyy-- =+ - -- - '11'11xxyy-+ =+ -- -
156Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK'2'2xxyy-+ = -- x' = –x + 2 ⇔x = 2 – x'y' = –y – 2 ⇔y = –y' – 2Dengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya, (2 – x) – 2(–y – 2) + 3 = 0 atau x – 2y – 9 = 0.4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)Coba kamu berikan contoh perkalian (dilatasi) yang terjadi di lingkungan sekitarmu? Sebagai contoh, balon yang ditiup akan mengembang, karet gelang dapat direnggang, dan lain-lain. Semua itu membicarakan perkalian ukuran objek. Tetapi, pada kesempatan ini, kita akan membahas konsep perkalian objek dengan pendekatan koordinat.Masalah 4.5Coba amati gambar berikut. Berikan pendapatmu?Gambar 4.13: Dilatasi objek pada pusat O(0, 0)
157MATEMATIKA Jika diamati, kamu melihat ukuran objek akan semakin besar dengan perkalian skala 2. Kemudian, jarak OA2 adalah dua kali OA, jarak OB2 adalah dua kali OB dan jarak OC2 adalah dua kali OC. Tetapi bangun setelah perkalian dengan faktor skala –1 mempunyai besar dan ukuran yang sama tetapi mempunyai arah yang berlawanan. Perhatikan juga, jarak OA1 sama dengan jarak OA, jarak OB1 adalah sama dengan jarak OB dan jarak OC1 adalah sama dengan jarak OC. Hal ini berarti, untuk melakukan perkalian/dilatasi, dibutuhkan unsur faktor perkalian dan pusat perkalian. Dengan mengamati perkalian objek, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:Sifat 4.4Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k = -1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.'
158Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBerikutnya, amati dilatasi titik-titik pada gambar berikut.Gambar 4.14: Dilatasi titik dengan pusat P(a, b)Kamu amati titik pusat, objek, dan hasil dilatasi objek. Amati juga jarak objek ke pusat dan jarak hasil dilatasi ke pusat pada bidang koordinat di atas.Coba kamu lengkapi tabel berikut dan tentukan pola atau konsep melalui langkah-langkah berikut!Tabel 4.7: Dilatasi titik pada pusat P(a, b) dan skala kNo.PusatObjekHasilPola1.P(0, 0)A(2, 2)A'(6, 6)620 03620 0 = -+ 2.P(0, 0)B(–2, 2)B'(...,...)...3.P(9, 0)C(...,...)C'(9, –4)...4.P(–10, 1)D(–8, 2)D'(–2, 5)2810104521 1- - - - = -+ 5.P(–8, –3)E(...,...)E'(...,...)...
159MATEMATIKASecara indukif, diperoleh kesimpulan berikut:Titik A(x, y) didilatasi dengan pusat P(p, q) dan skala k menghasilkan bayangan A'(x', y'), ditulis dengan,[ ( ,),]( , )'( ', ')P pq kDAx yA x y→''xxp pkyyq q- =+ - Contoh 4.15Jika titik A(–2, 3) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan skala 3 maka tentukanlah bayangan titik tersebut!Alternatif Penyelesaian:A(–2, 3) [ ( 0 ,0 ),3 ]OD→A'(x', y')' 263' 39xy-- == Jadi, bayangan titik A adalah A'(–6, 9)Contoh 4.16Jika garis 2x – 4y + 3 = 0 didilatasi dengan pusat P(1, –1) dan skala –2 maka tentukanlah bayangan garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x, y) memenuhi persamaan 2x – 4y + 3 = 0 sehingga, [ (1,1),2]( , )'( ', ')PDAx yA x y--→'11232'( 1)123xxxyyy--+ =-+= -- - - - x' = –2x + 3 ⇔x = 3'2x-y' = –2y – 3 ⇔y = 3'2y--
160Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan mensubstitusi x dan y ke garis maka ditemukan bayangannya, 2(3'2x-) – 4(3'2y--) + 3 = 0 atau – x + 2y + 12 = 0Uji Kompetensi 4.21. Tentukan koordinat titik-titik oleh rotasi R dengan sudut α dan pusat Pserta arah rotasi sebagai berikut:No.TitikSudutArahPusata.A(2, 1)α = 900Berlawanan arah jarum jamP(0, 0)b.B(–1, 3)α = 900Searah jarum jamP(1, 1)c.C(–2, –1)α = 1800Berlawanan arah jarum jamP(2, –1)d.D(3, –5)α = 2700Berlawanan arah jarum jamP(–2, 3)e.E(2, 2)α = 450Searah jarum jamP(–1, –2)2. Tentukan bentuk persamaan oleh dilatasi R dengan sudut α dan pusat Pserta arah rotasi sebagai berikut:No.FungsiSudutArahPusata.2y – 3x + 6 = 0α = 900Searah jarum jamP(0, 0)b.3y – 4x – 6 = 0α = 900Berlawanan arah jarum jamP(1, 1)c.y = x2 – 2x + 6α = 1800Berlawanan arah jarum jamP(2, –1)d.y = – 2x2 – x + 2α = 2700Berlawanan arah jarum jamP(–2, 3)e.x2 + y2 – 4 = 0α = 450Searah jarum jamP(–1, –2)
161MATEMATIKA3. Tentukan koordinat titik-titik oleh dilatasi D dengan skala k dan pusat Pberikut:No.TitikSkalaPusata.A(2, 1)k = 2P(0, 0)b.B(–1, 3)k = –2P(1, 1)c.C(–2, –1)k = 3P(2, –1)d.D(3, –5)k = –1P(–2, 3)e.E(2, 2)k = 2P(–1, –2)4. Tentukan bentuk persamaan oleh dilatasi D dengan skala k dan pusat Pberikut:No.FungsiSkalaPusata.2y – 3x + 6 = 0k = 2P(0, 0)b.3y – 4x – 6 = 0k = –2P(1, 1)c.y = x2 – 2x + 6k = 3P(2, –1)d.y = – 2x2 – x + 2k = –1P(–2, 3)e.x2 + y2 – 4 = 0k = 2P(–1, –2)5. Titik A(2, 3) di rotasi sejauh 2700 pada pusat O(0, 0) kemudian dilanjutkan dengan dilatasi pada skala –2 dengan pusat dilatasi P(1, –1). Sketsa transformasi tersebut dan tentukan koordinat akhir titik A.
162Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK4.5 Komposisi TransformasiSelanjutnya, kita akan membahas komposisi transformasi. Ingat, transformasi merupakan fungsi sehingga konsep komposisi transformasi sama halnya dengan komposisi fungsi pada umumnya yang telah kamu pelajari sebelumnya di kelas X.(gof)fgBACabcGambar 4.15 Fungsi komposisi (gof )Berdasarkan gambar di atas, fungsi f memetakan anggota domain ke tepat satu anggota kodomain pertama (Himpunan B), kemudian fungsi g akan melanjutkan pemetaan ke anggota kodomain kedua (Himpunan C). Sementara fungsi komposisi (gof) akan memetakan anggota domain (Himpunan A) secara langsung ke kodomain kedua (Himpunan C). Sekarang, bagaimana jika fungsinya berupa transformasi geometri seperti translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi? Coba kamu pahami masalah berikut:Masalah 4.6Misalkan sembarang titik A(x, y) ditranslasikan dengan T1(a1, b1) kemudian dilanjutkan dengan translasi T2(a2, b2). Tentukan koordinat akhir titik Atersebut!
163MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Sesuai dengan konsep translasi, maka persoalan ini dapat diselesaikan secara bertahap.Namun, proses translasi bertahap ini dapat melahirkan konsep komposisi translasi. Coba kamu amati!121212( , )'( ', ')"( ", ")aaTTbbAx yA x yA x y→→22"'"'axxbyy=+ dimana 11''axxbyy = + 2121""aaxxbbyy =++ 21""TTxxMMyy =++ 21""TTxxMyy =+ dimana, 212121TTaaMbb = + 212121TTaaMbb = Proses komposisi translasi tersebut dapat kamu lihat pada skema berikut:111aTb222aTbA'(x', y')A"(x", y")A(x, y)(T2oT1)Skema 4.1 Komposisi Translasi
164Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSecara umum, matriks komposisi translasi dituliskan sebagai berikut:Jika matriks translasi T1 adalah ab dan matriks translasi T2 adalah cdmaka matriks komposisi translasi T1oT2 atau T2oT1 dituliskan,1212TTTTM MM= + = ab + cd2121TTTTM MM= + = cd + abContoh 4.17Titik A(6, ‒8) ditranslasikan dengan T1(‒3, 2) kemudian dilanjutkan dengan translasi T2(‒4, ‒1). Tentukan koordinat akhir titik A tersebut!Alternatif Penyelesaian:AAxyMTT(,)'(',')6821−→o21""TTxxMMyy =+ 21"'"'TTxxMMyy=++" 4 36" 12 8xy-- =++ -- "1"7xy- = - Posisi akhir titik A menjadi A′′(‒1, ‒7).
165MATEMATIKAMasalah 4.7Coba kamu amati cermin di tukang cukur (atau salon). Di depan kita ada cermin dan di belakang kita juga terdapat cermin. Jadi, kamu memiliki bayangan di cermin di depanmu dan di belakangmu, bukan? Jika kamu amati lebih lanjut, bayanganmu di cermin depan akan mempunyai bayangan juga di cermin belakang dan sebaliknya. Hal ini menunjukkan terjadi pencerminan bertahap dengan dirimu sebagai objek. Nah, ini akan melahirkan konsep komposisi refleksi. Mari kita turunkan formulanya secara umum.Misalkan sembarang titik A(x, y) direfleksikan dengan C1 dilanjutkan dengan refleksi terhadap C2 dimana matriks refleksi C1 adalah abcddan matriks refleksi C2 adalah efgh. Dapatkah kamu menemukan konsep komposisi refleksi?Alternatif Penyelesaian:Dengan melakukan pencerminan bertahap maka:12( , )'( ', ')"( ", ")CCAx yA x yA x y→→xyMxyC''''=2dimana MefghC2=xyMxyC''''''=1dimana MabcdC1=xyMMxyCC''''=12xyMxyCC''''=12odimana MabcdefghCC12o=
166Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKProses di atas dapat dilihat pada skema berikut:A(x, y)A'(x', y')A"(x", y")(C2oC1)C2C1Skema 4.2: Komposisi RefleksiSecara umum, matriks komposisi refleksi dituliskan sebagai berikut:Jika matriks refleksi C1 adalah abcd dan matriks refleksi C2 adalah efgh maka matriks komposisi refleksi C1oC2 atau C2oC1 dituliskan,12122121CCCCCCCCab e fM MMMcd g he f abM M MMg h cd====Contoh 4.18Garis 2x – 8y – 3 = 0 dicerminkan dengan C1oC2 di mana C1 adalah cermin terhadap sumbu x dan C2 adalah cermin terhadap garis y = –x. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut!
167MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Misalkan titik A(x, y) memenuhi persamaan garis sehingga berdasarkan konsep komposisi refleksi yang telah ditemukan: 12( , )'( ', ')CCAx yA x y →1222'dimana'CCCCxxMMMyy = 12CCMM adalah matriks pencerminan C1oC21222'dimanadan 'CCCCxxMMMMyy = 12 dan CCMMadalah matriks pencerminan C1 dan C2' 1 0 10' 0 10 1xxyy- = -- '10'01xxyy- = ''xxyy- = Dengan kesamaan matriks maka diperoleh x = –x' dan y = y' sehingga persamaan bayangan garis menjadi 2(–x) – 8(y) – 3 = 0 atau –2x – 8y – 3 = 0.Konsep komposisi translasi dan komposisi refleksi sama halnya dengan konsep komposisi rotasi dan komposisi dilatasi. Dengan menggunakan konsep komposisi fungsi maka komposisi rotasi atau komposisi dilatasi merupakan proses bertahap fungsi rotasi atau fungsi dilatasi. Masalah 4.8Misalkan titik A(x, y) diputar dengan pusat O(0, 0) dan sudut a1 dilanjutkan rotasi dengan pusat O(0, 0) dan sudut a2 menghasilkan bayangan A′′(x′′, y′′). Dapatkah kamu bangun formula komposisi rotasi?
168Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Masalah ini adalah komposisi rotasi dengan pusat yang sama, yaitu di O(0, 0).11111cossin'sincos'xxxRyyyaaaa- == 22222cossin"''sincos"''xxxRyyyaaaa- == dengan mensubstitusi ''xy diperoleh,2 21 1212 2 11cossincossin"sincossincos"xxxRRyyya aa aaaaa-- == ()2121212121cos()sin()sin()cos()xxRRyyaaaaaaaa+- +=++Perhatikan skema komposisi rotasi berikut!A(x, y)A'(x', y')A"(x", y")(R2(O, b)oR1(O, a))R2(O, b)R1(O, a)Skema 4.3 Komposisi rotasi
169MATEMATIKADengan demikian, diperoleh formula untuk komposisi rotasi pada pusat putar O(0,0) sebagai berikut:Jika 121[, ]2[, ] dan OOaRRa adalah rotasi sebesar α1 pada sudut O(0, 0) dan rotasi sebesar α2 pada sudut O(0, 0) dengan maka matriks komposisi rotasi ditulis, ()[, ] [, ]12OOaRRMa[] []()0,0,1221212121cos()sin()sin()cos()aRRMaaaaaaaaa+- +=++Contoh 4.19Perhatikan contoh-contoh berikut!Titik A(a, b) dirotasi dengan 12RR dimana R1 adalah rotasi dengan sudut 180° berlawanan arah jarum jam pada pusat O(0, 0) dan R2 adalah rotasi dengan sudut 90° berlawanan arah jarum jam pada pusat P(b, 2a). Tentukan posisi akhir titik A tersebut!Alternatif Penyelesaian:Dengan konsep fungsi komposisi maka:12( , )'( ', ')RRAa bA x y →122'cos 90sin 9001dimana'sin 90cos 9010RRRxaMMMyb°- °- === °° 1'01 0 0'100 0RxaMyb- - =+ - 11'01cos180sin18010dimana'10sin180cos18001RRxaMMyb - °- ° - === °°- ' 0101' 10 1022xab byba a- - =-+
170Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK' 01 2' 102xbbyaa-- =+ - '3'3xbya = 22abab+-Jadi, posisi akhir titik A tersebut adalah A′(3b,3a).Contoh 4.20Garis 2x – y – 3 = 0 dirotasi dengan R1oR1 dimana R1 adalah rotasi dengan sudut 90° berlawanan arah jarum jam pada pusat P(1, 2). Tentukan persamaan posisi akhir garis tersebut!Alternatif Penyelesaian:Misalkan titik memenuhi garis tersebut sehingga:11( , )'( ', ')RRAx yA x y →111'cos 90sin 9001dimana'sin 90cos 9010RRRxxMMyy°- °- === °° 1'01 1 1'102 2RxxMyy- - =+ - 1'3'1RxyMyx-+ = + '0 1311'1 0122xyyx- -+- =+ +- '2'4xxyy-+ = -+ Dengan kesamaan matriks maka diperoleh x = –x' + 2 dan y = –y' + 4 sehingga persamaan garis menjadi 2(–x + 2) – (–y + 4) – 3 = 0 atau –2x + y – 3 = 0.
171MATEMATIKAMasalah 4.9Misalkan titik A(x, y) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k1dilanjutkan dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala k2 diperoleh koordinat hasil dilatasi A′′(x′′, y′′). Dengan cara yang sama pada konsep komposisi pada transformasi sebelumnya, temukan konsep komposisi dilatasi pada pusat yang sama yaitu di O(0, 0)!Alternatif Penyelesaian:1122''" ''" ''x xxDky yyx xxDky yy == == dengan mensubstitusi 11''x xxDky yy == diperoleh,21212121""()xxxD DkkyyyxxD Dkkyy == =Perhatikan skema!A(x, y)[][]212 0,1 0,kkDD[][]212 0,1 0,kkDD[][]212 0,1 0,kkDDA"(x", y")A'(x', y')Skema 4.4 Komposisi dilatasi
172Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDengan demikian, formula untuk komposisi dilatasi pada pusat O(0, 0) adalah:Jika titik A(x, y) dirotasi berturut-turut oleh 11[ , ]OkD dan 22[ ,]OkD maka, 21212121""()xxxD DkkyyyxxD Dkkyy == =Contoh 4.21Titik A(3, 5) didilatasi dengan D1oD2 dimana D1 adalah dilatasi dengan faktor skala 3 pada pusat O(0, 0) dan D2 adalah dilatasi dengan faktor skala 2 pada pusat P(2, 1).Tentukan koordinat akhir titik A tersebut!Alternatif Penyelesaian:Dengan menggunakan konsep komposisi dilatasi, maka:12(3, 5)'( ', ')DDAAx y →12'3'5'30 012'50 0'62 23'1011'12214'27128DDxMyxMDyxyxy = =-+ = -+ = += 1DMJadi, koordinat akhir titik A tersebut adalah A′(14, 28)Contoh 4.22Jika Dk adalah dilatasi ke-k dengan faktor skala 1kk+ pada pusat O(0, 0) maka tentukan dilatasi titik A(‒11, 55) oleh D1o D2o D3o . . . oD10.
173MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Dengan menggunakan konsep komposisi dilatasi pada pusat yang sama maka:1231012310...123101121311011 2 31023411111'''11...'55'11...'55'11...'55'11'55'1'5DD D DDD DDxxMyyxMMM Myxyxyxyxy+++ + = - = - = ⋅ ⋅ ⋅⋅ - =⋅⋅⋅⋅ - = -= Jadi, posisi akhir titik A tersebut setelah dilatasi adalah A′(‒1, 5).Uji Kompetensi 4.31. Dengan konsep komposisi transformasi, tentukan koordinat titik A setelah ditranslasi berikut:a. Titik A(1, ‒2) ditranslasikan dengan T1(‒1, 12) kemudian dilanjutkan dengan translasi T2(‒2, ‒10).b. Titik B(1, 4) ditranslasikan dengan T1(‒3, 2) kemudian dilanjutkan dengan translasi T2(4, 3), dilanjutkan lagi dengan translasi T3(‒2, ‒3).c. Titik C(1, 5) ditranslasikan dengan T2oT1 dimana T1(3, 4) dan T2(4, ‒9).
174Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKd. Titik D(‒10, 25) ditranslasikan dengan T1oT2 dimana T1(‒2, ‒4) dan T2(1, ‒5).e. Titik E(‒1, 8) ditranslasikan dengan T2oT1 oT2 dimana T1(2, ‒1) dan T2(‒1, ‒2).2. Dengan konsep komposisi transformasi, tentukan persamaan suatu objek setelah ditranslasi berikut:a. Garis 2x – 3y – 4 = 0 ditranslasikan dengan T1(1, 2) kemudian dilanjutkan dengan translasi T2(2, ‒1).b. Garis –3x – 5y + 15 = 0 ditranslasikan dengan T1(3, 4) kemudian dilanjutkan dengan translasi T2(4, 5), dilanjutkan lagi dengan translasi T3(‒5,‒6).c. Garis –x + 3y – 5 = 0 ditranslasikan dengan T1oT2 dimana T1(‒3, 2) dan T2(‒2, 3).d. Parabola y – 2x2 + 3x – 4 = 0 ditranslasikan dengan T2oT1 dimana T1(‒2, ‒2) dan T2(1, ‒1).e. Parabola 2y = 2x2 – 4x – 1 ditranslasikan dengan T1oT1oT2 dimana T1(2, ‒1) dan T2(‒1, ‒2).3. Jika C1 adalah pencerminan terhadap titik O(0, 0), C2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, C3 adalah pencerminan terhadap sumbu y, C4 adalah pencerminan terhadap garis y = x, dan C5 adalah pencerminan terhadap garis y = ‒x maka tentukan koordinat bayangan titik oleh komposisi pencerminan berikut:a. Titik A(2, 2) dicerminkan dengan C2oC1b. Titik B(12, ‒2) dicerminkan dengan C1oC2c. Titik C(‒4, 6) dicerminkan dengan C3oC4d. Titik D(‒5, 9) dicerminkan dengan C5oC2 oC3e. Titik E(‒1, ‒3) dicerminkan dengan C4oC1 oC5
175MATEMATIKA4. Jika C1 adalah pencerminan terhadap titik O(0, 0), C2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, C3 adalah pencerminan terhadap sumbu y, C4 adalah pencerminan terhadap garis y = x, dan C5 adalah pencerminan terhadap garis y = ‒x maka tentukan koordinat bayangan objek oleh komposisi pencerminan berikut:a. Garis 2x + 4y – 7 = 0 dicerminkan dengan C1oC2b. Garis –x + 3y + 5 = 0 dicerminkan dengan C3oC5c. Garis –3x + 2y + 6 = 0 dicerminkan dengan C5oC5 oC4d. Parabola y = –x2 + 3x – 2 dicerminkan dengan C1oC4e. Parabola –y + 2x2 – 5x + 6 = 0 dicerminkan dengan C2oC3 oC45. Jika R1 adalah rotasi sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0, 0), R2 adalah rotasi sejauh 270° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0, 0), R3 adalah rotasi sejauh 180° searah jarum jam dengan pusat P(1, ‒1), dan R4 adalah rotasi sejauh 90° searah jarum jam dengan pusat P(1, ‒1) maka tentukan posisi objek oleh komposisi rotasi berikut:a. Titik A(2, ‒2) dirotasi dengan R1oR2b. Titik B(‒8, 2) dirotasi dengan R2oR1c. Titik C(8, ‒6) dirotasi dengan R3oR4d. Garis –x + 9y – 3 = 0 dirotasi dengan R2oR1e. Parabola 2y = 2x2 – 3x + 4 dirotasi dengan R4oR36. Temukan formula komposisi rotasi R1oR2 terhadap titik A(x, y) dimana adalah rotasi dengan sudut θ1 dan pusat rotasi P1(a, b) dan R2 adalah rotasi dengan sudut θ2 dan pusat dilatasi P2(c, d).7. Jika Rk adalah rotasi ke-k sejauh 90° searah jarum jam dengan masing-masing pada pusat O(0, 0)maka tentukan rotasi titik A(‒2, ‒4) oleh R1oR2oR3 o. . . oR10 .
176Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK8. Jika D1 adalah dilatasi dengan faktor skala 2 pada pusat O(0, 0), D2 adalah dilatasi dengan faktor skala 3 pada pusat O(0, 0), D3 adalah dilatasi dengan faktor skala ‒2 pada pusat P(‒1, ‒1), dan D4 adalah dilatasi dengan faktor skala 4 pada pusat P(‒1, ‒1) maka tentukan posisi objek oleh komposisi dilatasi berikut:a. Titik A(12, ‒4) didilatasi dengan D1oD2b. Titik B(‒3, 4) didilatasi dengan D3oD4c. Titik C(‒1, 2) didilatasi dengan D1oD4d. Garis 3x + 2y – 1 = 0 didilatasi dengan D2oD1e. Parabola 3y = 2x2 – 1 didilatasi dengan D4oD39. Temukan formula komposisi dilatasi D1oD2 terhadap titik A(x, y) dimana D1 adalah dilatasi dengan faktor skala k1 dan pusat dilatasi P1(a, b) dan D2adalah dilatasi dengan faktor skala k2 dan pusat dilatasi P2(c, d).10. Jika Dk adalah dilatasi ke-k dengan faktor skala h pada pusat P(1, ‒1) maka tentukan dilatasi titik A(‒2, ‒4) oleh D1oD2oD2o. . . oD10.
177MATEMATIKA D. PenutupSetelah kita membahas materi transformasi, kita membuat kesimpulan sebagai hasil pengamatan pada berbagai konsep dan aturan transformasi sebagai berikut:1. Transformasi yang dikaji terdiri dari translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian) serta komposisinya.2. Matriks transformasi yang diperoleh adalah:No.TransformasiMatriks Transformasi1.Translasi T(a, b)ab2.Refleksi Titik O(0, 0)1001--3.Refleksi Sumbu x1001-4.Refleksi Sumbu y1001-5. Refleksi Garis y = x01106.Refleksi Garis y = –x0110--7. Rotasi sebesar sudut αcossinsincosaaaa-8.Dilatasi [k,P(a,b)] ''xxa akyyb b- =+ -
178Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK9MT : Matriks Translasi2121TTTTM MM= +10MT : Matriks Transformasi2121TTTTMMM=3. Transformasi mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:Translasi Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Refleksi Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.Rotasi Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.Dilatasi Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika – 1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k= –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k< –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
179MATEMATIKA Selanjutnya, kita akan membahas tentang materi barisan dan deret. Materi prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, dan operasi hitung bilangan. Hal ini sangat berguna dalam penentuan fungsi dari barisan tersebut. Semua apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk melanjutkan bahasan berikutnya dan seluruh konsep dan aturan-aturan matematika dibangun dari situasi nyata dan diterapkan dalam pemecahan masalah kehidupan.